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ガリレイ・・・だよね?
たしかガリレイだったと思うんですが、
ピサの斜塔で落下の速度が重さに依存しないことを発見したのはよく聞く話です。でも、これおかしいよね。

重いもののが先に落ちるはずだよ。

それで実際に計算したらそうなった。

その根拠を以下に。

なんかだいぶ長く、そして式ばっかりになっちゃった。

見苦しいので久々に続きを読むを活用してみますか。



地球上には空気抵抗があるんです。

というか、完全な真空が宇宙のどこにもない以上、移動にたいしてそこらへんの分子が衝突します。これすなわち抵抗。


この抵抗ってのは、
ぶつかってくるものが物体の重さより十分に軽いなら、
速度に比例してその係数は形状に依存するんだよね。
あとでちょっと詳しくやってます。
ここではよくある一般論で抵抗をcvとすれば、

運動方程式をたてると
(ここではニュートンの運動方程式使います。ホントは四次元時空での測地線の方程式つかったほうがいいんだろうけど。)

Ma=Mg-cv (c:定数)

つまり加速度は質量に依存して、

a=g-cv/M


これより明らかにMが大きいと速度も大きいですが、一応ちゃんと解けば


d(v-Mg/c)/dt=-c/M*(v-Mg/c)

よって

v=aexp(-ct/M)+Mg/c (a:定数)

=-Mg/c*exp(-ct/M)+Mg/c

=(1-exp(-ct/M))Mg/c


dv/dM=g/c-g/c*exp(-ct/M)-gt/M*exp(-ct/M)
=g/c*(1-exp(-x)-xexp(-x)) (x=ct/M)
>0

だから重いもののほうが速度は大きくなるんです。





つまり、厳密にはピサの斜塔から同じサイズの鉄球と木の球を落としたら鉄球のが先に落ちるんです。

だけど、この差がどんなもんなのかは物体の形状にも因るのでなんともいえないのですが。

たとえば羽はなかなか落ちないわけで。


それに速度によっては、方程式自体がまずい(相対論効果が強くなる光速に近い運動をするときには高校で習うこの方程式はちょっとまずいです。)から、余計にこの議論もあやしいですが。

ただ、空気抵抗は普通の速度でも体感できますし、相対論の効果よりは十分に大きいでしょう。

だけど、宇宙ぐらい分子密度が落ちちゃうとこの空気抵抗も小さくなるので(c:小)、相対論の効果とトントンかもしれないです。


そうなってくると、二つの物体を一緒におとしたことによる相互の引力とかも影響したりして。まぁ、これで速度の大小が逆転することはないですが。


ともかく、直感どおり重いもののが速く落ちるんです。








で、ちょっと調子に乗ってガリレイさんのやった実験だと空気抵抗はどうなるのか計算してみた。




まず
おまけとして分子の運動に着目して抵抗を計算してみます。

さっきもいったように空気抵抗は分子の衝突です。

つまり、空気が物体に運動量を与えるわけです。

分子質量m,物体質量M,
分子密度n,分子の平均速度vとすれば、物体の運動量pについて
平均速度なので当たる前後で速度は変わらないとして

⊿p=2vm

物体が衝突する分子の個数は微小時間dtの間に
物体の断面積S,速度Vとして

nSVdt   
(物体は直方体考えてます。球なら分子が与える運動量が場所によって変わるだけです)

なので、全部で

δp=2nSVmdt

よってニュートンの運動方程式の両辺をtで積分すれば

p=Mgt-∫2nSVmdt

よって、

Ma=Mg-2nSVm

となる。これはつまり空気抵抗が速度Vに比例し、物体の質量には依存しないことを意味する。

上との整合は

c=2nSm





じゃぁ、ガリレイさんのやった実験は正しかったのか?

計算してみる。

mnは密度なので空気抵抗は密度にも比例している。

空気の密度は一気圧20℃で1.2kg/m^3
ぐらいですので

一辺5cmの直方体を落としたとすると、

c=2nSm=0.006

ここで、最初に求めた速度の式
v=(1-exp(-ct/M))Mg/c
より

ct/M

が十分に小さいと空気抵抗の影響は無視できるので、

ct/M<<1
として条件を出す。

tとして、空気抵抗がないときのオーダーで計算すると
t~3.3sec

よって、

0.0198kg << M

のときのみ空気抵抗は無視してよい。

重さが10kgぐらいになると空気抵抗が本格的に無視できそうですね。
1kgでも無視かな。


いま、鉄を考えると0.000125m^3の重さは0.973kg
よって鉄はピサの斜塔で空気抵抗の影響は弱い。

対して、杉を考えると重さは0.041kg
よって、杉はピサの斜塔では空気抵抗の影響が大きくある。

やっぱり。でも、大きいと重さは三乗さ増えて抵抗は二乗で増えるので、
物体を大きくすればいつか空気抵抗は無視できる。


実際に鉄では一辺10cmの直方体では空気抵抗が無視できることが計算できる。
でも、こんな鉄の塊ってけっこう重いよね。下に人いたら即死だわ。


ガリレイさん的にも実験で下に人を殺しちゃうのは不本意だろうし、
そんなに重いは使わなかったんじゃないか。

となると、空気抵抗が効いてきて、実験的にはまずいんじゃないかな。



ってわけで以上です。


あぁ、この実験はなんか弟子の創作らしいので、

ガリレイさんよりも弟子の思考実験の弱さでしょうか。


ってこんな文章(ではないね。)を読みきった人なんているんでしょうか。

では、また。
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試験前にそういう楽しい計算する余裕がないです。
教職男 | URL | 2007/07/25/Wed 16:03 [EDIT]

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